Espacios Vectoriales

¿Que tienen en común los números reales, los vectores y las matrices de cualquier dimensión?, puede que ahora no se le ocurra una respuesta del todo clara, puede que si lo halla pensado suficiente solo encuentre dos similitudes entre todas estas, si aun no lo encuentra se trata de la multiplicación de escalares y la suma. Ya que todos comparten las propiedades de que la suma es conmutativa y asociativa, es decir si tomamos a $A, B, C$ matrices $n \times m$ se tiene que:

$A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C Conmutatividad Asociatividad$

Esto se cumple tanto para los vectores como para los reales.

Y ahora la multiplicación por escalares resulta trivial hablar de ella.

Definición formal

Definimos a un espacios vectorial como un conjunto no vació $V$ de objetos llamados vectores, que consta de dos operaciones, la suma y la multiplicación por escalares de un cuerpo $F$ , ademas los espacios vectoriales deben cumplir con los siguiente axiomas.

Tener un cuerpo $F$ de escalares.
Un conjunto $V$ de objetos llamados vectores.
Una regla llamada adición tal que para $v, j, k \in V$ cumple que::
- Es conmutativa $v + j = j + v$
- Asociativa $v + (j + k) = (v + j) + k$
- Existe un vector nulo denotado por $0$ tal que para todo vector $v \in V$ se cumple que $v + 0 = v$
- Para cada vector $v \in V$ existe un vector $- v \in V$ tal que $v - v = 0$ . este vector lleva por nombre inverso de $v$ .
Una operación llamada producto por escalar que asocia un escalar $α \in F$ con un vector $v \in V$ a un nuevo vector $α \cdot v \in V$ tal que cumple:
- Existe un escalar denotado por $1$ tal que $1 \cdot v = v$ para todo $v \in V$ .
- Sea $α, β \in F$ , $(α \cdot β) \cdot v = α \cdot (β \cdot v)$
- Es distributiva con respecto a la suma de vectores. $α \cdot (v + j) = α \cdot v + α \cdot j$ .
- Sea $α, β \in F$ y $v \in V$ , los vectores distribuyen con respecto a la suma de escalares: $(α + β) \cdot v = α \cdot v + β \cdot v$

Sobre los cuerpos

Normalmente el cuerpo $F$ de escalares es $R$ , y el concepto de cuerpo es visto en clases de álgebra abstracta, en este caso un cuerpo es una estructura algebraica en donde se pueden sumar y multiplicar sus elementos, y que cumplen con las propiedades de la conmutatividad, asociatividad y distributiva además la existencia de un inverso multiplicativo y aditivo para cada elemento del cuerpo incluyendo los elementos neutros para las dos operaciones, estos serian las propiedades ya conocidas que permiten hacer aritmética.

Nota

Se utilizaran letras del alfabeto $v, j, k, \dots$ para denotar vectores y letras griegas $α, β, γ, \dots$ para denotar escalares de un cuerpo. Omitiremos escribir el punto en la multiplicación por escalares, es decir, en lugar de $α \cdot v$ escribiremos $αv$ .

El espacio de vectores $R^{n}$ (normalmente conocido como espacio cartesiano).

Sea $R^{n}$ el conjunto de todas las tuplas de tipo $v = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ donde cada $x_{i} \in R$ . Si $j = (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})$ donde cada $y_{i} \in R$ , la suma de $v + j$ se define como: $v + j = (x_{1} + y_{1}, x_{2} + y_{2}, \dots, x_{n} + y_{n})$ y el producto por un escalar $α \in R$ como: $αv = (α x_{1}, α x_{2}, \dots, α x_{n})$

Es fácil demostrar que el espacio cumple los axiomas de los espacios vectoriales.

El conjunto de matrices $R^{n \times m}$ es espacio vectorial. Se define la suma de dos vectores $A, B \in R^{n \times m}$ como: $(A + B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij}$ Es decir, se suma un elemento de una fila $i$ y columna $j$ en $A$ con su respectivo elemento en la misma posición en $B$ .

El producto de un escalar $α \in R$ definido como: $α A_{ij}$ Es decir se multiplica cada elemento de la matriz con el escalar $α$ .

Teoremas

Teorema 1.

El inverso $- v$ de $v$ es único, además $- v = (- 1) v$ con $(- 1) \in R$ .

Supongamos que $w$ y $w^{'}$ son inversos de $v$ .

$v + w v + w + w^{'} (v + w^{'}) + w 0 + w w = v + w^{'} = v + w^{'} + w^{'} = (v + w^{'}) + w^{'} = 0 + w^{'} = w^{'}$

Se demostro que $w = w^{'}$ por lo tanto el inverso de un vector es único.

Ahora vamos a demostrar que $- v = (- 1) v$ .

Sea $v \in V$ . $0 0 + (- v) - v = 0 v = (1 + (- 1)) v = v + (- 1) v = v + (- 1) v + (- v) = (- 1) v$

Teorema 2

Sea $α \in R$ y $v \in V$ . Si $αv = 0$ entonces $α = 0$ 0 $v = 0$ .

Supongamos que $α = 0$ . $v 0 v 0 + (- v 0) 0 = v (0 + 0) = v 0 + v 0 = v 0 + v 0 + (- v 0) = v 0$

Ahora supongamos que $α \neq = 0$ . $αv (\frac{1}{α}) αv (\frac{1}{α} α) v v = 0 = (\frac{1}{α}) 0 = 0 = 0$

Sub espacios

Como si tratase de un conjunto los espacios vectoriales poseen subconjuntos, muchos de hecho, pero hay una clase de estos subconjuntos que son especiales, ya que cumplen con todos los axiomas de espacios vectoriales, por lo tanto también serian uno. Estos subconjuntos son llamados subespacios vectoriales.

Se utilizaran las siglas $E V$ para decir espacio vectorial, y $SE V$ para subespacios vectoriales.

Comprobar si es $SEV$

Sea $W \subseteq V$ , donde $V$ es $E V$ , para comprobar si $W$ también lo es solo se tiene que verificar las siguientes propiedades:

El vector nulo esta en $W$ , es decir $0 \in W$ .
$W$ es cerrado bajo la suma de $V$ , es decir para todo par de elementos $v, w \in W$ se cumple que $v + w \in W$ y $v + w \in V$ .
$W$ es cerrado bajo la multiplicación de escalares de $V$ , es decir, para todo elemento $w \in W$ y para cualquier escalar $α \in R$ se cumple que $αv \in W$ .

Una forma directa de comprobar esto es demostrando que el vector $αv + w$ esta en $W$ , para $v, w \in W$ y $α \in R$ .

Sea $W = {(x, 0) ∣ x \in R}$ , se demostrara que es $SE V$ de $R^{2}$ .

Si $x = 0$ entonces $(0, 0) \in W$ , por lo tanto el vector nulo esta en $W$ . Ahora sean $x, y, α \in R$ , por lo tanto $(x, 0), (y, 0) \in W$ , luego: $α (x, 0) + (y, 0) = (αx, α 0) + (y, 0) = (αx, 0) + (y, 0) = (αx + y, 0) \in W$ se demostró que $W$ es cerrado bajo las operaciones de $R^{2}$ por lo tanto es $SE V$ .

Este $E V$ visto de una manera geométrica corresponde al eje x del plano cartesiano.

Sea $G = {(x, αx) ∣ α, x \in R}$ , ¿Sera $G$ $SE V$ de $R^{2}$ ?, la respuesta es sí, se comprueba fácilmente que el vector nulo esta en $G$ si hacemos a $x = 0$ , ahora se demostrara que $G$ es cerrado bajo las operaciones de $R^{2}$ .

Sea $(x, αx), (y, α y) \in G$ y $β \in R$ entonces: $β (x, αx) + (y, α y) = (β x, β αx) + (y, α y) = (β x + y, β αx + α y) = (β x + y, α (β x + y)) \in G$

El $SE V$ $G$ corresponde a las recta que pasan por el origen con pendiente $α$ .

Subespacios vectoriales triviales

Si $V$ es $E V$ entonces tiene dos $SE V$ triviales, los cuales son ${0}$ (rápidamente se puede comprobar que es $E V$ ) y el mismo $V$ .

Operaciones de SEV

Teorema 1 intersección

Sea $V$ un $E V$ , la intersección de cualquiera de sus $SE V$ es otro $SE V$ de $V$ .

Sean $H_{1}, H_{2}$ SEV de $V$ , se sabe que $H_{1} \cap H_{2} \neq = \emptyset$ ya que ambos poseen el vector nulo. Ahora supongamos que $v, w \in H_{1} \cap H_{2}$ y $α \in R$ , como ambos vectores están en la intersección entonces $v, w \in H_{1}$ y $v, w \in H_{2}$ y como ambos son SEV entonces $αv + w \in H_{1}$ y $αv + w \in H_{2}$ , se sigue que $αv + w \in H_{1} \cap H_{2}$ , se concluye que $H_{1} \cap H_{2}$ es SEV

Teorema 2 suma

Sea $H_{1}$ y $H_{2}$ SEV de $V$ decimos que la suma de los dos también lo es, es decir: $H_{1} + H_{2} = {h_{1} + h_{2} ∣ h_{1} \in H_{1}, h_{2} \in H_{2}}$ ademas es el menor SEV que contiene a $H_{1}$ y $H_{2}$ .

Supongamos que $h_{1}, h_{2} \in H_{1} + H_{2}$ entonces: $∴ ∴ h_{1} = h + h^{'} h_{2} = \overset{ˉ}{h} + \overset{ˉ}{h}^{'} h_{1} + h_{2} = (h + \overset{ˉ}{h}) + (h^{'} + \overset{ˉ}{h}^{'}) h_{1} + h_{2} \in H_{1} + H_{2} h \in H_{1}, h^{'} \in H_{2} \overset{ˉ}{h} \in H_{1}, \overset{ˉ}{h}^{'} \in H_{2} h + \overset{ˉ}{h} \in H_{1}, h^{'} + \overset{ˉ}{h}^{'} \in H_{2}$ Aquí se demostró que $H_{1} + H_{2}$ es cerrado bajo la suma, ahora de demostrara que lo es con el producto de escalares.

Sea $α \in R$ entonces $α h_{1} = α (h + h^{'}) = α h + α h^{'}$ , como $α h \in H_{1}$ y $α h^{'} \in H_{2}$ entonces $α h_{1} \in H_{1} + H_{2}$

Notación

A partir de ahora se incluirá una notación para distinguir entre subconjunto y subespacio, diremos que $W \leq V$ para indicar que $W$ es SEV de $V$ .

Teorema 3 producto directo

Sean $V_{1}, V_{2} \leq V$ , el conjunto $V_{1} \times V_{2} = {(v_{1}, v_{2}) ∣ v_{1} \in V_{1}, v_{2} \in V_{2}}$ dotado de las siguientes operaciones es EV:

$(v_{1}, v_{2}) + (v_{1}^{'}, v_{2}^{'}) = (v_{1} + v_{1}^{'}, v_{2} + v_{2}^{'})$ Donde el $+$ es la suma de vectores, no la de escalares.
Sea $α \in R$ $α \cdot (v_{1}, v_{2}) = (α \cdot v_{1}, α \cdot v_{2})$ donde $\cdot$ indica el producto de escalar por vector.

La demostración es larga y aburrida, es por eso que acudiré a "se le deja al lector como ejercicio".

Combinaciones lineales

Este concepto es muy intuitivo de hecho casi ni merece una larga explicación, pero igual aquí estoy yo escribiendo pendejadas matemáticas de manera entendible para mi propio ser estúpido.

Digamos que tenemos un conjunto finito de $n$ vectores $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ , decimos que un vector $w$ es combinación lineal de estos cuando es el resultado de la suma de cada uno de los $n$ vectores multiplicados por un escalar $α_{i}$ .

Definición combinación lineal

$w$ es combinación lineal de los vectores $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ cuando: $w = i = 1 \sum n α_{i} v_{i} = α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2} + \dots α_{n} v_{n}$ con $α_{i} \in R$ .

La combinación lineal del vector $(4, 3)$ a partir de los vectores $(2, 1), (3, 1), (9, 2)$ es: $(4, 3) = 2 (2, 1) + 3 (3, 1) + (- 1) (9, 2)$

Espacio generador

Se dice que los vectores $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ generan al espacio vectorial $V$ si todo vector en $V$ se puede escribir como combinación lineal de los mismos, osea que para cada $v \in V$ existen un conjunto de escalares $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ tal que $v = α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2} + \dots α_{n} v_{n}$ .

Si esto ocurre se dice que el espacio generado por el conjunto de vectores ${v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ es el conjunto de todas las combinaciones lineales de los mismos. La notación utilizada para esto es la siguiente: $⟨ v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n} ⟩ = {v ∣ v = α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2} + \dots α_{n} v_{n}, α_{i} \in R}$

Si se toma un vector $(a, b) \in R^{2}$ , entonces $⟨ (a, b) ⟩ = {α (a, b) ∣ α \in R}$ , se obtiene el espacio vectorial de la recta que pasa por el origen y por el punto $(a, b)$ .

El espacio generado por $(1, 0)$ y $(0, 1)$ es todo $R^{2}$ .

$⟨ (1, 0), (0, 1) ⟩ = {α (1, 0) + β (0, 1) ∣ α, β \in R} = {(α, 0) + (0, β) ∣ α, β \in R} = {(α, β) : α, β \in R} = R^{2}$

Basto con solo dos vectores para generar todo $R^{2}$ , ahora una pregunta natural es ¿cual es el mínimo de vectores que necesito para generar un espacio $V$ ?, pues la respuesta a esto la veremos después, pero para responderla tenemos que entender otro concepto llamado independencia lineal.

Independencia Lineal

Los vectores $(1, 2)$ y $(4, 8)$ tienen una relación muy cercana, la cual es que $(4, 8) = 4 (1, 2)$ es decir el segundo vector es una combinación lineal del primero, ahora supongamos que tenemos un conjuntos de vectores $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ donde al menos uno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los demás, a este hecho se la llama dependencia lineal.

Es decir dentro de este conjunto de vectores existe un vector $v_{i}$ con $1 \leq i \leq n$ tal que para unos escalares $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ se cumple que: $v_{i} = α_{1} v_{1} + \dots + α_{i - 1} v_{i - 1} + α_{i + 1} v_{i + 1} + \dots + α_{n} v_{n}$ Ahora tomemos una combinación lineal de los mismos vectores $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ (incluyendo el $v_{i}$ ) donde los escalares son los mismos utilizamos en la combinación lineal del vector $v_{i}$ , solo que el escalar que acompañara a $v_{i}$ sera $- 1$ :

$= α_{1} v_{1} + \dots + α_{i - 1} v_{i - 1} + (- v_{i}) + α_{i + 1} v_{i + 1} + \dots + α_{n} v_{n} = = v_{i} α_{1} v_{1} + \dots + α_{i - 1} v_{i - 1} + α_{i + 1} v_{i + 1} + \dots + α_{n} v_{n} + (- v_{i}) = v_{i} - v_{i} = 0$

Esto demuestra otra propiedad que tienen los conjuntos de vectores linealmente dependiente, existe una combinación lineal de ellos donde son iguales a 0, este hecho sera la definición utilizada de dependencia lineal.

Dependencia lineal

Sea $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ un conjunto de vectores, decimos que son linealmente dependientes cuando existe un conjuntos de escalares $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ (no todos ceros) tal que:

$α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2} + \dots α_{n} v_{n} = 0$

Dentro del plano cartesiano los vectores linealmente dependientes son todos aquellos que se encuentran sobre la misma recta o son paralelos.

Pero cabe la posibilidad que para un conjunto de vectores no existan tales escalares, entonces solo puede existir una forma que una combinación lineal de estos vectores sea $0$ , esta es donde todos los escalares son igual a $0$ . El conjunto de vectores que cumplen esto se les llamara linealmente independientes.

Independencia lineal

Si para un conjunto de vectores $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ y uno de escalares $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ se tiene que: $α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2} + \dots α_{n} v_{n} = 0$ solo cuando $α_{1} = α_{2} = \dots = α_{n} = 0$ , se le llama al conjunto de vectores linealmente independientes.

A partir de ahora se utilizaran las siglas LD para decir linealmente dependientes y LI para linealmente independientes.

Determinar si es LI o LD

Hay muchas formas para determinar si un conjuntos de vectores es LI o LD, pero se mostraran las que se puedan usar por el momento a partir de la información mostrada anteriormente, también la de demostración se deja como ejercicio para el lector.

Si en el conjunto ${v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ hay uno que es múltiplo del otro entonces es LD.
Si $v_{i} \in {v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ y $v_{i} = 0$ entonces el conjunto es LD.

Justificación: ya que el vector nulo puede ser escrito como combinación lineal de cualquier conjunto de vectores donde donde los escalares son 0.
Si el conjunto ${v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ es LI entonces cualquier subconjunto de el también lo será.

Justificación: Por definición un conjunto de vectores es LI cuando una combinación lineal de el es 0 si cada escalar es 0, por lo tanto podemos quitar cualquier vector y la combinación lineal seguirá siendo 0.

Bases y dimensiones

Digamos que tenemos un espacio vectorial $V$ , ahora se quiere encontrar la minima cantidad de vectores que lo generen, sabemos que tales vectores no pueden ser LI, ya que al menos uno es combinación de los demás, por lo que puede ser eliminado, entonces solo queda pedir que los vectores sean LI.

Base de un espacio vectorial

Sea $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ una colección de vectores LI de $V$ y además $V = ⟨ v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n} ⟩$ , llamamos a esta colección de vectores base de $V$ .

Los vectores $(1, 0)$ y $(0, 1)$ es base de $R^{2}$ , la demostración de que generan a todo $R^{2}$ ya fue hecha, y resulta trivial demostrar que son LI.

El conjunto ${1, x, x^{2}, x^{3}}$ son base del espacio vectorial de los polinomios de grado 3 (denotado por $[p]_{3}$ ).

Estos ejemplos son triviales ya que usan lo que se llama la base canónica, que se puede definir como la base más simple y trivial del espacio vectorial.

Los vectores $(0, 1)$ y $(1, 1)$ son base de $R^{2}$ .

Primero demostremos que son LI. sea $α, β \in R$ entonces: $α (0, 1) + β (1, 1) = (β, α + β) = (0, 0)$ de esto tenemos el siguiente sistema ecuaciones: ${β α + β = 0 = 0$ la solución a este sistema es $α = β = 0$ , lo que demuestra que son LI.

Ahora se va a demostrar que generan a todo $R^{2}$ , para eso basta mostrar que a partir de una combinación lineal de ellos podemos obtener los vectores canónicos, ya tenemos $(0, 1)$ por lo que basta encontrar la combinación lineal de $(1, 0)$ la cual es: $(1, 0) = (1, 1) - (0, 1)$ ya que hay una combinación lineal para cada canónico podemos generar todo $R^{2}$ con estos vectores. Se concluye que $(1, 1), (0, 1)$ es base de $R^{2}$

Teorema 1

Sea $V$ un espacio vectorial y sea $B = {v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ una base de $V$ y $G = {w_{1}, w_{2}, \dots, w_{m}}$ un conjunto generador de $V$ $(⟨ G ⟩ = V)$ entonces $n \leq m$ .

Supongamos que $n \geq m$ . El propósito de esta demostración es llegar a concluir que $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ son LD lo que claramente es una contradicción, para ello empecemos con la siguiente ecuación: $α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2} + \dots α_{n} v_{n} = 0$ Como $G$ es un conjunto generador entonces podemos escribir cada $v_{i}$ en términos de combinación lineal de $w_{i} \in G$ : $α_{1} (β_{1}^{1} w_{1} + \dots + β_{1}^{m} w_{m}) + \dots + α_{n} (β_{n}^{1} w_{1} + \dots + β_{n}^{m} w_{m}) = 0$ Reorganizando los términos obtenemos: $(α_{1} β_{1}^{1} + α_{2} β_{2}^{1} + \dots + α_{n} β_{n}^{1}) w_{1} + \dots + (α_{1} β_{1}^{m} + \dots α_{n} β_{n}^{m}) w_{m} = 0$ Conocemos los valores de cada $β_{i}^{j}$ pero queremos encontrar los valores de cada $α_{i}$ , a partir de la ecuación anterior obtenemos el siguiente sistema homogéneo: $α_{1} β_{1}^{1} + α_{2} β_{2}^{1} + \dots + α_{n} β_{n}^{1} = 0 ⋮ α_{1} β_{1}^{m} + α_{2} β_{2}^{m} + \dots + α_{n} β_{n}^{m} = 0$ El cual es un sistema de n incógnitas $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ y $m$ ecuaciones, y por nuestra hipótesis $n \geq m$ , esto quiere decir que existen infinitas soluciones para $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ , tal que $α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2} + \dots α_{n} v_{n} = 0$ , esto demuestra que los vectores son LD pero esto entra en contradicción ya que $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ son LI, por lo tanto no pueden haber infinitas soluciones. Se concluye que $n \leq m$ .

Este teorema nos afirma que las bases es el conjunto más pequeño que genera un espacio vectorial y ademas que sus vectores son LI.

Corolario 1.1

Si $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ son LI y $w_{1}, w_{2}, \dots, w_{m}$ generan el espacio $V$ entonces $n \leq m$ .

Corolario 1.2

Si $B_{1}$ y $B_{2}$ son bases de $V$ entonces $∣ B_{1} ∣ = ∣ B_{2} ∣$ .

Tenemos que $⟨ B_{1} ⟩ = V$ , luego como $B_{2}$ es base también es un conjunto generador de $V$ , entonces por el teorema anterior tenemos que $∣ B_{1} ∣ \leq ∣ B_{2} ∣$ , de manera análoga para $B_{2}$ obtenemos $∣ B_{2} ∣ \leq ∣ B_{1} ∣$ , se concluye que $∣ B_{1} ∣ = ∣ B_{2} ∣$ .

Este teorema es importante porque afirma que sin importar que base escojamos estas siempre tendrán la misma cantidad de elementos.

Sabemos que una base de $V$ genera todo el espacio, lo que quiere decir que una combinación lineal de los vectores de la base puede escribir cualquier vector de $V$ , pero ahora hay que preguntarse si cada vector se escribe de forma única según su base, o si existen más de una representación, el siguiente teorema nos permitirá responder a esta pregunta.

Teorema 2

Sea $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ una base de $V$ y sea $v \in V$ , entonces existe un conjunto único de escalares $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ tal que $v = α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2} + \dots α_{n} v_{n}$ .

Tales escalares son llamados coordenadas.

Digamos que hay más de una combinación para $v$ . $v = α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2} + \dots α_{n} v_{n} = β_{1} v_{1} + β_{2} v_{2} + \dots β_{n} v_{n}$ Se resta una combinación de la otra: $0 = α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2} + \dots α_{n} v_{n} - (β_{1} v_{1} + β_{2} v_{2} + \dots β_{n} v_{n}) = α_{1} v_{1} - β_{1} v_{1} + \dots + α_{n} v_{n} - β_{n} v_{n} = (α_{n} - β_{n}) v_{n} + (α_{2} - β_{2}) v_{2} + \dots + (α_{n} - β_{n}) v_{n}$

Como los vectores $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ son LI, y de aquí obtenemos una combinación lineal de ellos, que es igual a cero, entonces la única solución es que $α_{1} - β_{1} = α_{2} - β_{2} = \dots = α_{n} - β_{n} = 0$ lo que es equivalente a decir que $α_{1} = β_{1} = \dots = α_{n} = β_{n} = 0$ para todo $α_{i}, β_{i}$ , esto lleva a concluir que las dos combinaciones lineales son la mismas, por lo tanto existe una única combinación lineal para cada vector respecto a la base.

Dimensiones

Dimensión

Sea $B$ una base de un espacio vectorial $V$ decimos que $∣ B ∣$ (el cardinal de $B$ ) es la dimensión de $V$ , esto lo denotamos como $dim V$ .

Teorema 1

Sea $V$ un EV tal que $dim V = m$ y $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ un conjunto de vectores LI de $V$ , entonces $n \leq m$ .

Razonando de manera similar a la demostración del Teorema 1 de bases se llegaría a una contradicción sobre la independencia lineal de los vectores $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ , por lo tanto se concluye que $n \leq m$ .

Este teorema nos asegura que la cantidad de vectores LI que podemos tener en un conjunto no debe superar la dimensión de su espacio vectorial. Por ejemplo si tenemos 4 vectores en $R^{3}$ ya sabemos que no pueden ser LI.

Teorema 2

Sea $V, W$ espacios vectoriales tal que $W \leq V$ ( $W$ es SEV de $V$ ) entonces $dim W \leq dim V$ .

Digamos que $dim V = n$ y supongamos que $dim W \geq dim V$ , entonces podemos encontrar vectores $w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n}, w_{n + 1} \in W$ LI, esto es una contradicción por el teorema anterior, ya que implica que $W$ puede ser generado por estos $n + 1$ vectores, por lo tanto implica que $V$ puede ser generado al menos por $n + 1$ vectores LI, pero es una contradicción ya que solo pueden haber $n$ vectores LI en $V$ , por lo tanto $dim W \leq dim V$ .

Teorema 3

Cualquier conjunto de $n$ vectores LI en un espacio $V$ de dimensión $n$ constituyen una base de $V$ .
Si tenemos que $dim V = k$ donde $n \leq k$ podemos completar los $n$ vectores hasta tener $k$ vectores LI.

Primero vamos a demostrar 1. Supongamos que tenemos el conjunto $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ de $n$ vectores LI que no son base de $V$ , esto quiere decir que existe un $v_{n + 1} \in V - ⟨ v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n} ⟩$ tal que $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}, v_{n + 1}$ es LI, por lo tanto $⟨ v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}, v_{n + 1} ⟩ = W$ , como cada uno de estos vectores esta en $V$ entonces $W \leq V$ , y por el Teorema 2 $dim W \leq n$ , pero $dim W = n + 1$ , se llego a una contradicción con el teorema anterior, por lo tanto se concluye que $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ es una base de $V$

Ahora se demostrara 2. Sea $W_{1} = ⟨ v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n} ⟩$ , como $n < k$ entonces $W ⪇ V$ por lo tanto existe un $v_{n + 1} \in V - W_{1}$ tal que $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}, v_{n + 1}$ son LI, ahora sea $W_{2} = ⟨ v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}, v_{n + 1} ⟩$ , si $W_{2} = V$ entonces la prueba termina, sino continuamos con el mismo argumento, es decir, existe $v_{n + 2} \in V - W_{2}$ tal que $W_{3} = ⟨ v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}, v_{n + 1}, v_{n + 2} ⟩$ , si $W_{3} = V$ terminamos, sino continuamos de forma iterativa hasta conseguir un espacio vectorial $W_{k} = ⟨ v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}, v_{n + 1}, \dots, v_{k} ⟩ = V$ .

Kernel e Imagen

Estos conceptos van a ser fundamentales cuando lleguemos a ver transformaciones lineales, pero por el momento solo las mostraremos utilizando matrices y vectores, en el siguiente capitulo veremos estas mismas ideas generalizadas para cualquier espacio vectorial.

Utilizaremos la siguiente notación:

$M_{m \times n} (R) Matrices reales de m \times n M_{n} (R) Matriz cuadrada de n \times n$

Transformaciones lineales de matrices

Sea $A \in M_{m \times n} (R)$ (una matriz de $m$ filas y $n$ columnas), a partir de ella podemos crear una función llamada transformación lineal que va de $R^{n}$ a $R^{m}$ , la cual es definida como:

$T : R^{n} \to R^{m} v \in R^{n} \mapsto A \times v$

Sea $A$ la matriz definida como: $A = [12 2 - 1 30]$ Una transformación lineal de esta matriz sera la siguiente: $T : R^{3} \to R^{2} x y z \mapsto A x y z = [x + 2 y + 3 z 2 x - y]$

Kernel y nulidad

Kernel

Sea $A \in M_{m \times n} (R)$ y $T : R^{n} \to R^{m}$ una transformación lineal asociada a $A$ . El kernel de una transformación lineal (denotado por $K (T)$ ) es un espacio vectorial definido como: $K (T) = {x \in R^{n} ∣ A x = 0_{m}}$

Es decir todos los vectores de $R^{n}$ tal que al multiplicarse por $A$ dan como resultado el vector nulo de $R^{m}$ .

Teorema 1

Sea $A \in M_{m \times n} (R)$ , sea $T : R^{n} \to R^{m}$ una transformación lineal asociada a esta matriz, el $K (A)$ es sub espacio vectorial de $R^{n}$ .

Sea $v, w \in K (T)$ entonces $A v = A w = 0_{m}$ se sigue que $0_{m} = A v + A w = A (v + w)$ se concluye que $v + w \in K (A)$ , ahora con un escalar $α \in R$ se tiene que $A (αv) = α (A v) = α 0_{n} = 0_{n}$ por lo tanto $αv \in K (A)$ .

Como $K (T)$ es cerrado bajo la suma y la multiplicación por escalares, entonces se concluye que $K (T) \leq R^{n}$ .

Ya que sabemos que $K (T)$ es un espacio vectorial, podemos preguntarnos por su dimensión, esta sera llamada nulidad y es muy importante.

Nulidad

Sea $T$ una transformación lineal de una matriz $A$ , definimos la nulidad de $T$ como la dimensión de su kernel: $N (T) = dim K (T)$

Sea $A$ una matriz definida como:

$A = [- 1 2 3 - 6 2 - 4]$

Para hallar el kernel se debe hallar la solución al siguiente sistema: $A \times x y z = 000$ De esto se tendrá el siguiente sistema homogéneo: $- x + 3 y + 2 z 2 x - 6 y - 4 z = 0 = 0$ Dese cuenta que la segunda ecuación es $- 2$ veces la primer por lo tanto se puede omitir y despejar de la primera $x$ de lo que queda $x = 3 y + 2 z$ , a partir de esto obtenemos el siguiente vector: $3 y + 2 z y z = 3 y y 0 + 2 z 0 z = y 310 + z 201$ A partir de esto se tiene que estos dos vectores son la base de $K (T)$ . $K (T) = ⟨ 310, 201 ⟩$ y ademas su nulidad es: $N (T) = dim K (T) = 2$ Si tomamos cualquier combinación lineal de estos dos vectores y lo multiplicamos por nuestra matriz $A$ obtendremos como resultado $0$ .

Imagen y rango

Imagen

Sea $A \in M_{m \times n} (R)$ y $T : R^{n} \to R^{m}$ . Definimos la imagen de $T$ como todos los vectores que viven sobre el rango de la transformación lineal, es decir: $Im (T) = {y \in R^{m} ∣ A x = y \exists x \in R^{n}}$

Teorema 2

Sea $T$ una transformación lineal asociada a $A \in M_{m \times n} (R)$ . $Im (T)$ es sub espacio vectorial de $R^{m}$

Sea $x, y \in Im (T)$ entonces existen un $v, w \in R^{n}$ tal que $x = A v$ y $y = A w$ entonces $x + y = A v + A w = A (v + w)$ como $v + w \in R^{n}$ entonces $A (v + w) \in Im (T)$ , Sea $α \in R$ entonces $αx = α (A v) = A (αv)$ como $αv \in R^{n}$ entonces $A (αv) \in Im (T)$ .

Se demostro que $Im (T)$ es cerrada bajo la suma y el producto por escalares, por lo tanto $Im (T) \leq R^{m}$ .

Rango

El rango de una transformación $T$ no es más que la dimensión de su imagen: $R (T) = dim Im (T)$

Algunos teoremas

Teorema de la dimension (TD)

Sea $A$ una matriz de $m \times n$ y $T : R^{n} \to R^{m}$ una transformación de ella, entonces $n = R (T) + N (T)$ , es decir el rango más la nulidad es igual al número de columnas de la matriz.

Este teorema es uno de los más importantes en el álgebra lineal. Su demostración es bastante rigurosa y larga, si no esta interesado en ella puede omitirla.

Sea $v_{1}, \dots, v_{N (T)}$ una base para $K (T)$ , como $K (T) \leq R^{n}$ , entonces podemos completar estos vectores tal que $v_{1}, \dots, v_{N (T)}, v_{N (T) + 1}, \dots, v_{n}$ es una base de $R^{n}$ .

Dado cualquier $v \in R^{n}$ existen un conjunto de escalares $α_{1}, \dots, α_{n}$ tal que es combinación lineal de los vectores anteriores: $v = i = 1 \sum n α_{i} v_{i}$ Luego como $A \in M_{m \times n} (R)$ entonces podemos multiplicarla por $v$ , de lo que nos queda: $A v = i = 1 \sum n α_{i} A v_{i}$ Pero como los primeros $N (T)$ vectores pertenecen al kernel su producto por $A$ es igual al vector nulo por lo tanto podemos simplificar y hacer: $A v = i = N (T) + 1 \sum n α_{i} A v_{i}$ Como los vectores $v_{N (T) + 1}, \dots, v_{n}$ son LI entonces $A v = ⟨ v_{N (T) + 1}, \dots, v_{n} ⟩$ , de esto se tiene que $Im (T) \leq ⟨ v_{N (T) + 1}, \dots, v_{n} ⟩ \leq Im (T)$ , se concluye que $Im (T) = ⟨ v_{N (T) + 1}, \dots, v_{n} ⟩$ .

De lo anterior se tiene lo siguiente: $R (T) n = dim Im (T) = dim {v_{N (T) + 1}, \dots, v_{n}} = n - N (T) = R (T) + N (T)$

Teorema 3

Si $A \in M_{m \times n} (R)$ y $T : R^{n} \to R^{m}$ entonces $A$ es uno a uno si y solo si $K (T) = {0_{n}}$ lo que equivale a decir $N (T) = 0$ .

Recordemos que una función es uno a uno cuando para todo $x, y$ del dominio, $x \neq = y$ entonces $f (x) \neq = f (y)$ .

Primero se va a demostrar que si la transformación es 1-1 entonces $N (T) = 0$ .

Si tomamos a $A v = 0_{m}$ entonces $A v = A 0_{n}$ y como la función es 1-1 no puede existir otro valor de $v$ que cumpla esto por lo tanto $v = 0_{n}$ y como este es el único valor que al multiplicarlo por $A$ da $0_{m}$ entonces $K (T) = {0_{n}} ⟹ N (T) = 0$ .

Ahora supongamos que $N (T) = 0$ , y se va a demostrar que la transformación es 1-1.

Supongamos que $A v = A w$ por lo tanto $A v - A w = 0_{m} = A (v - w)$ como $v - w \in K (T)$ y $K (T) = {0_{n}}$ entonces $v - w = 0_{n} ⟹ v = w$ por lo tanto la aplicación es 1-1.

Corolario del TD

Sea $A \in M_{m \times n} (R)$ y $T : R^{n} \to R^{m}$

Si $n < m$ , $T$ no puede ser sobreyectiva.
Si $n > m$ , $T$ no puede ser inyectiva.
si $n = m$ , entonces $T$ es sobreyectiva si y solo si $T$ es 1-1.

Se demostraran cada uno de los corolarios.

Si $n < m$ entonces por el teorema de la dimensión $R (T) = n - N (T) \leq n$ por lo tanto $R (T) < m$ , se concluye que $T$ no puede ser sobreyectiva.
Si $n > m$ , por el teorema de la dimensión $N (T) = n - R (T) > m - R (T) \geq 0$ , se tiene que $N (T) > 0$ por lo tanto $T$ no puede ser inyectiva.
Si $n = m$ , por el teorema de la dimensión $R (T) = n ⟺ N (T) = 0$ , luego por los ítems anteriores queda que $T$ es 1-1.

Transformaciones Lineales

En las notas sobre espacios vectoriales vimos los conceptos de Kernel e Imagen, y para poder explicarlos tuvimos que introducir una función $T$ tal que $T : R^{n} \to R^{m}$ , esto limitados a utilizar solo matrices de $m$ filas y $n$ columnas, pero podemos extender este concepto para cualquier espacio vectorial, así pues una transformación lineal se tratara simplemente de una función que va de un espacio vectorial a otro.

Transformaciones lineales

Sean $V$ y $W$ espacios vectoriales. Una transformación lineal $T$ es una función que asigna a un vector $v \in V$ un vector $w \in w$ , ademas de satisfacer las siguientes propiedades:

Si $v_{1}, v_{2} \in V$ entonces $T (v_{1} + v_{2}) = T (v_{1}) + T (v_{2})$ .
Si $α \in R$ y $v \in V$ entonces $T (αv) = α T (v)$ .

Utilizando la notación que se emplea en funciones se puede describir a $T$ de la siguiente manera: $T : V v \in V \to W \mapsto T (v) \in W$ Siendo $V$ y $W$ espacios vectoriales.

Sea $T : R \to R$ con $T (x) = x^{2}$ no es transformación lineal, tome un $x, y \in R$ , entonces se supone que $T (x + y) = T (x) + T (y) = x^{2} + y^{2}$ , pero esto es falso ya que $T (x + y) = (x + y)^{2} \neq = x^{2} + y^{2}$ .

Sea $T : R \to R^{2}$ siendo $T (x) = (x, αx)$ , donde $α \in R$ , $T$ es transformación lineal.

En efecto tome un $x, y \in R$ , entonces $T (x + y) = (x + y, α (x + y)) = (x, αx) + (y, α y) = T (x) + T (y)$ . Ahora tome un $c \in R$ entonces $T (c x) = (c x, α c x) = c (x, αx) = c T (x)$ .

Propiedades de las Transformaciones Lineales

En esta nota se listaran algunas propiedades, además se incluirán en lo posible sus demostraciones (si es que no me da paja redactarlas, o pensar una original, aunque como carezco de creatividad matemática, puedo afirmar que esta nota no tendrá demostraciones originales, y si las hay son las triviales, las que se le ocurren a todo mundo, ya me extendí mucho, por eso a veces es bueno omitir los paréntesis en un texto).

Decimos que una transformación $T \in L (V, W)$ , donde $L (V, W)$ es el conjunto de todas las transformaciones lineales que van de $V$ a $W$ .

Teorema 1

Sean $T : V \to W$ , y $v, w \in V$ entonces:

$T (v - w) = T (v) - T (w)$

$T (α - β) = T (α + (- 1) β) = T (α) + T ((- 1) β) = T (α) + (- 1) T (β) = T (α) - T (β)$

Teorema 2

Sea $T : V \to W$ , donde ${v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ es una base de $V$ , sean $w_{1}, \dots, w_{n}$ vectores cualesquiera de $W$ , tal que $T (v_{j}) = w_{j}$ con $j = 1, \dots, n$ . Entonces $T$ es una transformación lineal.

Dado un $v \in V$ existe una única combinación lineal tal que $v = α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2} + \dots α_{n} v_{n}$ , donde cada $α_{i} \in R$ , definimos: $T (v) = α_{1} w_{1} + \dots + α_{n} w_{n}$ Para demostrar que es lineal tenemos que mostrar que $T (v + v^{'}) = T (v) + T (v^{'})$ y además $T (αv) = α T (v)$ , para un $α \in R$ . Definamos un vector $v^{'} \in V$ con la combinación $v^{'} = β_{1} v_{1} + \dots β_{n} v_{n}$ , donde $β_{i} \in R$ . Ahora por nuestra definición tenemos:

$T (v + v^{'}) = T ((α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2} + \dots α_{n} v_{n}) + (β_{1} v_{1} + \dots β_{n} v_{n})) = T ((α_{1} + β_{1}) v_{1} + \dots + (α_{n} + β_{n}) v_{n}) = (α_{1} + β_{1}) w_{1} + \dots + (α_{n} + β_{n}) w_{n}$

Como $T (v + v^{'}) = T (v) + T (v^{'})$ , entonces $T$ cumple con la primera condición de las combinaciones lineales, la demostración de que $α T (v) = T (αv)$ , para $α \in R$ , es análoga a la hecha anteriormente, por lo tanto concluimos de que $T$ es transformación lineal.

Este teorema nos da una herramienta muy útil para construir transformaciones lineales, solo tenemos que establecer una imagen para cada uno de los vectores de la base del espacio vectorial del dominio.

Corolario 1

Sea $T^{'} (v_{j}) = w_{j}$ , entonces $T (v) = T^{'} (v)$ . Es decir que la transformación lineal $T$ es única.

La demostración de este corolario es sencilla, solo coja un vector $v = α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2} + \dots α_{n} v_{n}$ , luego evaluemos en ambas transformaciones y llegara a que $T = T^{'}$ .

Este teorema solo es valido cuando la correspondencia de los vectores de la base de $V$ , con algunos vectores de $W$ es la misma, es decir si cogemos diferentes vectores de $W$ , la transformación lineal sera diferente.

Teorema 3

Sea $T \in L (V, W)$ , entonces $T (0_{V}) = 0_{W}$ . Esto nos afirma que la imagen del vector nulo del dominio es igual al vector nulo del rango.

$T (0_{v}) T (0_{v}) - T (0_{v}) 0_{w} = T (0_{v} + 0_{v}) = T (0_{v}) + T (0_{v}) = T (0_{v}) = T (0_{v})$

Teorema 4

Si $T, T^{'} \in L (V, W)$ entonces $T + T^{'} \in L (V, W)$ .

$(T + T^{'}) (v_{1} + v_{2}) = T (v_{1} + v_{2}) + T^{'} (v_{1} + v_{2}) = T (v_{1}) + T (v_{2}) + T^{'} (v_{1}) + T^{'} (v_{2}) = (T + T^{'}) (v_{1}) + (T + T^{'}) (v_{2})$ Demostramos que $(T + T^{'})$ cumple con la primera condición de las transformaciones lineales, ahora lo demostraremos la propiedad de los escalares. Sea $α \in R$ : $(T + T^{'}) (αv) = T (αv) + T^{'} (αv) = α T (v) + α T^{'} (v) = α (T (v) + T^{'} (v)) = α (T + T^{'}) (v)$

Con esto se demuestra que $(T + T^{'}) \in L (V, W)$ .

Este teorema tiene implicaciones muy grandes, se acabo de demostrar que la suma de dos transformaciones lineales pertenece al conjunto de transformaciones lineales, por lo tanto $L (V, W)$ es cerrado bajo la suma, al igual que la multiplicación por escalares, de esto se concluye que $L (V, W)$ es un espacio vectorial.

una pregunta que surge es sobre la dimensión de este espacio vectorial, la intuición nos sugiere que es infinita, ya que existen infinitas transformaciones lineales entre dos espacios vectoriales, pero sorprendente-mente la dimensión es finita y es: $dim L (V, W) = dim V \cdot dim W$ La demostración se deja como ejercicio para el lector, no mentiras, por el momento no se como demostrar esta vaina.

Teorema 5

Sea $T : V \to W$ entonces:

$Im (T) = {T (v) : v \in V} \leq W$ , es decir las imágenes de la transformación es un subespacio de $W$ .
$K (T) = T^{- 1} (0) = {v \in V : T (v) = 0} \leq V$ , es decir el kernel de $T$ es un SEV de $V$ .

Se demostrara 1.

Sea $v, w \in V$ entonces $T (v) + T (w) = T (v + w) \in Im (T)$ , sea $α \in R, v \in V$ entonces $α T (v) = T (αv) \in Im (V)$ .

Se demostrara 2.

Sean $v, w \in K (T)$ , es decir $T (v) = T (w) = 0$ entonces $T (v) + T (w) = 0 = T (v + w)$ , se sigue que $v + w \in K (T)$ . Sea $α \in R$ y $v \in K (T)$ , se tiene que $T (v) = 0$ , entonces $α T (v) = T (αv) = 0$ , se concluye que $αv \in K (T)$ .

Teorema 6

$T$ es biyectiva (uno a uno) si y solo si $K (T) = {0_{V}}$ .

Suponga que $T$ es 1-1, si $T (v) = 0$ entonces $T (v) = T (0)$ , esto implica que $v = 0$ por lo tanto $K (T) = {0}$ . Ahora supongamos que $K (T) = {0}$ . Si $T (v) = T (w) ⟹ T (v) - T (w) = 0$ , por lo tanto, $T (v - w) = 0$ , como $v - w \in K (T)$ entonces $v = w = 0$ , se demuestra que $T$ es 1-1.

Corolario 2

Si $T$ es 1-1 y ${v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ es L.I, entonces la imagen de cada uno de estos vectores también lo es, es decir, ${T (v_{1}), \dots, T (v_{n})}$ es L.I.

Sea $T \in L (V, W)$ . Tenemos que $⟨ v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n} ⟩ \leq V$ y además son L.I, supongamos que: $⟹ α_{1} T (v_{1}) + \dots + α_{n} T (v_{n}) = 0 \in W T (α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2} + \dots α_{n} v_{n}) = 0$ Pero como $T$ es 1-1 entonces $α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2} + \dots α_{n} v_{n} = 0$ , además ${v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ son L.I, por lo tanto cada $α_{i} = 0$ , se concluye que ${T (v_{1}), \dots, T (v_{n})}$ es L.I:

Teorema 7

Si $⟨ v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n} ⟩ = V$ entonces $⟨ T (v_{1}), \dots, T (v_{n}) ⟩ = Im (T)$ . En particular si $T$ es sobre entonces $⟨ T (v_{1}), \dots, T (v_{n}) ⟩ = W$ .

No es una demostración como tal sino un argumento, si suponemos que $⟨ v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n} ⟩ = V$ y $T \in L (V, W)$ entonces todo vector $v \in V$ es una combinación de los vectores de la base de $V$ , por definición de la imagen tenemos que: $Im T = {T (v) \in W : v \in V}$ Pero todo vector $v$ es combinación lineal de la base de $V$ por lo tanto todo $T (v)$ será la transformación de la combinación lineal de estos vectores por lo tanto $⟨ T (v_{1}), \dots, T (v_{n}) ⟩ = Im T$ , luego si $T$ es sobre entonces cada vector de $W$ tienen asociado a él un vector de $V$ , entonces $Im T = W$ .

Isomorfismos

Sea $T \in L (V, W)$ si $T$ es sobreyectiva (todo elemento de $W$ le corresponde un elemento en $V$ ) entonces $Im T = W$ , ahora por el teorema de la dimensión no puede ocurrir que $R (T) = dim W > dim V$ , por lo tanto se concluye que $dim W \leq dim V$ , Ahora si $T$ es adema inyectiva entonces por los teoremas anteriores sabemos que $N (T) = 0$ de esto y por el teorema de la dimensión concluimos que $dim W = dim V$ .

Esto mismo es lo que motiva introducir los isomorfismo, que propiedades tienen las transformaciones lineales donde sus espacios vectoriales tienen la misma dimensión.

Isomorfismos

Sean $T : V \to W$ , se dice que $T$ es un isomorfismo cuando:

$T$ es inyectiva.
$T$ es sobreyectiva.

Cuando esto ocurre se dirá que $V$ y $W$ son isomorfos y se denotara por $V ≅ W$ .

Teorema 1

Sea $V, W$ E.V de dimensión finita tal que $dim V = dim W$ . Entonces $V ≅ W$ .

Sea ${v_{1}, \dots, v_{n}}$ base de $V$ y ${w_{1}, \dots, w_{n}}$ base de $W$ entonces por el teorema 2 existe una transformación lineal $T : V \to W$ tal que:

$T (v_{i}) = w_{i} \forall_{1 \leq i \leq n}$

Es decir a cada vector de la base de $V$ lo mandamos a su respectivo vector a la base de $W$ , además $T$ es única, ahora suponga que $v \in V$ y $T (v) = 0$ , entonces si $v = α_{1} v_{1} + \dots + α_{n} v_{n}$ se tiene que $T (v) = α_{1} T (v_{1}) + \dots + α_{n} T (v_{n}) = α_{1} w_{1} + \dots + α_{n} w_{n} = 0$ como cada vector $w_{i}$ es L.I entonces cada $α_{i} = 0$ , por lo tanto $T$ es 1-1 y como cumple esto entonces también es sobre, luego concluimos que $V ≅ W$ .

Todo EV tiene asociado un EV real

Este teorema nos asegura que dos E.V de igual dimensión son isomorfos, ya conocemos a todos los espacios vectoriales de la forma $R^{n}$ , entonces si $dim V = n$ por el teorema anterior tenemos que $V ≅ R^{n} dim V = n$ Con esto demostramos que todo espacios vectorial es isomorfo a un espacio vectorial de los reales, por este motivo el estudio de los espacios vectoriales y sus propiedades se reduce a estudiar los $R^{n}$ .

Corolario 1

Si $dim V = n$ entonces: $V ≅ R^{n}$

Algunos teoremas

Estos teoremas ayudaran a determinar isomorfismo, la demostración es sencilla y muchas de ellas ya fueron dadas en las secciones pasadas.

Sea $T \in L (V, W)$ y $dim V = n$ y $dim W = m$ entonces:

T es inyectiva si y sólo si T es sobre.
T es inyectiva si y sólo si $K (T) = {0}$ o $N (T) = 0$ .
Si T es sobre entonces $R (T) = m$ o $Im T = W$ .
$n = N (T) + K (T)$ .
Si $n > m$ entonces $T$ no puede ser Inyectiva.
Si $n < m$ entonces $T$ no puede ser sobre.
Si $n = m$ entonces $T$ es isomorfismo.

Vectores coordenadas

Sea $B = {v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ una base de $V$ , definimos el vector de coordenadas de un vector $v$ , donde $v = α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2} + \dots + α_{n} v_{n}$ como:

$(v)_{B} = α_{1} α_{2} ⋮ α_{n}$

la notación $(v)_{B}$ se utiliza para representar el vector de coordenadas de $v$ con respecto a la base $B$

Los vectores de coordenadas inducen una transformación lineal que además es isomorfismo, la cual esta definida de la siguiente manera:

$T : V v v_{i} \to R^{n} \mapsto (v)_{B} \mapsto e_{i} dim V = n v \in V v_{i} \in B$

Donde $e_{i}$ representa el i-esimo vector canónico de $R^{n}$ .

Hallar el vector de coordenadas de $P (x) = x^{2} + x + 4$ para las bases:

$B_{1} B_{2} = {1, x, x^{2}, x^{3}} = {1, 1 + x, 1 + x + x^{2}, 1 + x + x^{2} + x^{3}}$

Para $B_{1}$ es trivial ya que se tratan de los vectores canónicos de $P [3]$ , por lo tanto $P (x)_{B_{1}} = (4, 1, 1, 0)$ .

Ahora para $B_{2}$ note que tenemos lo siguiente: $v_{1} v_{2} v_{3} v_{4} = 1 = x = (1 + x) - 1 = x^{2} = (1 + x + x^{2}) - (1 + x) = x^{3} = (1 + x + x^{2} + x^{3}) - (1 + x + x^{2})$

Por lo tanto:

$P (x) ∴ P (x)_{B_{2}} = v_{3} + v_{2} + 4 v_{1} = [(1 + x + x^{2}) - (1 + x)] + [(1 + x) - 1] + 4 = (1 + x + x^{2}) + 3 = (3, 0, 1, 0)$

Matriz Asociada a una Transformación Lineal

En esta sección se vera que cada transformación lineal $T : A \to B$ tiene asociada una matriz, tal que si se toma el vector de coordenadas de $v \in A$ y se multiplica por esta matriz, entonces el resultado de la multiplicación sera el vector de coordenada de $T (v) \in B$ .

Matriz en transformaciones reales

Primero se estudiara el caso real y luego se generalizara para cualquier matriz.

Teorema 1

Sea $T$ una transformación lineal tal que $T : R^{n} \to R^{m}$ , entonces se puede encontrar una única matriz $A \in M_{m \times n} (R)$ tal que $T (v) = A v$ , donde $v \in R^{n}$ .

Sea $v_{i}$ un vector canónico de $R^{n}$ , con $1 \leq i \leq n$ , donde $i$ representa la posición del 1 en el vector, es decir:

$v_{i} = (0, \dots, i-esima posici \overset{o}{ˊ} n 1, \dots, 0)$

Por este teorema sabemos que $T$ esta determinado según se asigne los vectores de la base de $R^{n}$ vectores de $R^{m}$ . Sea $w_{1} = T (v_{1}), w_{2} = T (v_{2}), \dots, w_{n} = T (v_{n})$ , donde cada $w_{i} \in R^{m}$ y

$w_{i} = α_{1 i} α_{2 i} ⋮ α_{mi}$

con $α_{ni} \in R$ , donde $1 \leq n \leq m$ .

Sea $A$ una matriz tal que sus columnas es cada uno de los vectores $w_{i}$ :

$A = [w_{1} w_{2} \dots w_{n}] = α_{11} ⋮ α_{m 1} \dots \dots α_{1 n} ⋮ α_{mn}$

Es claro que $A \in M_{m \times n} (R)$ . Sea $v_{i}$ un vector canónico de la base de $R^{n}$ entonces si se multiplica este vector por la matriz se obtendrá como resultado el vector $w_{i}$

$α_{11} ⋮ α_{m 1} \dots \dots α_{1 n} ⋮ α_{mn} 0 ⋮ 1 ⋮ 0 = α_{1 i} α_{2 i} ⋮ α_{mi} = w_{i}$

Aquí el 1 esta en la i-ésima fila de $v_{i}$ .

Se puede escoger cualquier base de $R^{n}$ y esto se seguirá cumpliendo, sea ${v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ una base no canónica de $R^{n}$ , suponga que se tiene una transformación lineal tal que $T (v_{i}) = w_{i}$ , donde $i = 1, \dots, n$ , al ser una base se puede encontrar las combinaciones lineales que nos den como resultado los vectores de las base canónica, es decir:

$α_{ij} \in R α_{11} v_{1} + \dots + α_{n 1} v_{n} = v_{1}^{'} = (1, 0, \dots, 0) α_{12} v_{1} + \dots + α_{n 2} v_{n} = v_{2}^{'} = (0, 1, \dots, 0) ⋮ α_{1 n} v_{1} + \dots + α_{nn} v_{n} = v_{n}^{'} = (0, 0, \dots, 1)$

Luego $T (v_{i}^{'}) = w_{i}^{'}$ , luego construimos $A$ con columnas $w_{i}^{'}$

sea $T : R^{2} \to R^{3}$ tal que: $T (2, 1) = (1, 1, 0) T (1, 0) = (0, 2, 1)$ Observe que $(0, 1) = (2, 1) - 2 (1, 0)$ por lo tanto $T (0, 1) = (1, - 3, - 2)$ , entonces $A$ será de la forma: $A = 1 - 3 - 2 021$ Ahora demostraremos que cualquier vector $(a, b)$ multiplicado por esta matriz será de la forma $α T (2, 1) + βT (1, 0)$ $1 - 3 - 2 021 [a b] = a - 3 a + 2 b - 2 a + b = a 110 - 2 a 021 + b 021 = a 110 + (b - 2 a) 021 = a T (2, 1) + (b - 2 a) T (1, 0) ■$

Matriz asociadas a cualquier transformación lineal

Teorema 2

Sea $V, W$ espacios vectoriales con dimensión $n$ y $m$ respectivamente, sea $T \in L (V, W)$ , sea $B_{1} = {v_{1}, \dots v_{n}}$ una base de $V$ y sea $B_{2} = {w_{1}, \dots, w_{m}}$ una base para $W$ , entonces existe una única matriz $A_{T}$ de $m \times n$ tal que: $(T (v))_{B 2} = A_{T} (v)_{B_{1}}$

Recordemos que la notación $(v)_{B}$ se refiere al vector de coordenadas de $v$ respecto a la base $B$ , en caso de no acordarse revise Vectores coordenadas.

Tomemos $T (v_{i}) = y_{i}$ donde $v_{i} \in B_{1}$ ahora, $y_{i}$ es una combinación lineal de los vectores de la base $B_{2}$ , es decir:

$y_{i} = a_{1 i} w_{1} + \dots + a_{mi} w_{i}$

por lo tanto el vector de coordenadas de $v_{i}$ serán los escalares de la combinación lineal anterior.

$(y_{i})_{B 2} = a_{1 i} ⋮ a_{mi}$

Con esto se definira $A_{T}$ como la matriz de $m \times n$ tal que sus columnas con los vectores de coordenadas de cada $y_{i}$ :

$A_{T} = [(y_{1})_{B 2} (y_{2})_{B 2} \dots (y_{n})_{B 2}] = a_{11} ⋮ a_{m 1} \dots \dots a_{1 n} ⋮ a_{mn}$

Sea $v \in V$ un vector arbitrario tal que $(v)_{B 1} = (c_{1}, \dots, c_{n})$ . Si se multiplica por $A_{T}$ se obtiene:

$A_{t} (v)_{B 1} = a_{11} ⋮ a_{m 1} \dots \dots a_{1 n} ⋮ a_{mn} c_{1} ⋮ c_{n} = a_{11} c_{1} ⋮ a_{m 1} c_{1} + + \dots \dots + + a_{1 n} c_{n} ⋮ a_{mn} c_{n} = c_{1} a_{11} ⋮ a_{m 1} + \dots + c_{n} a_{1 n} ⋮ a_{mn} = c_{1} (y_{1})_{B 2} + c_{2} (y_{2})_{B 2} + \dots + c_{n} (y_{n})_{B 2}$

Se sabe que $T (v) = T (c_{1} v_{1} + \dots + c_{n} v_{n}) = c_{1} T (v_{1}) + \dots + c_{n} T (v_{n}) = c_{1} y_{1} + \dots + c_{n} y_{n}$ de esta manera se tiene que $T (v)_{B 2} = (c_{1} y_{1} + \dots + c_{n} y_{n})_{B 2} = c_{1} (y_{1})_{B 2} + \dots + c_{n} (y_{n})_{B 2}$

Tomando el ejemplo anterior podemos tomar la base $B_{1} = {(2, 1), (1, 0)}$ y $B_{2} = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}$ , luego tenemos que:

$T (2, 1) = (1, 1, 0) T (1, 0) = (0, 2, 1)$

Primero se hallaran los vectores coordenadas para las imágenes de los vectores de la base $B_{1}$ , pero no hay mucha complicación ya que la base del espacio vectorial de la imagen es la canónica por lo tanto nuestra $A$ seria de la forma:

$A = 110021$

Tomemos el vector de coordenadas de los vectores de la base $B_{1}$ :

$(2, 1)_{B 1} = (1, 0) (1, 0)_{B 1} = (0, 1)$

Ahora observe que si multiplicamos cualquier vector de coordenadas $v$ de $B_{1}$ nos dará como resultado $T (v)$ (ya que la base $B_{2}$ es la canónica).

$110021 (10) = 110 = T (2, 1)$

Teorema de la dimensión

Ya en esta sección se trato la demostración del teorema de la dimensión para espacios vectoriales en $R$ , ahora que ya demostramos que toda transformación lineal puede escribirse de la forma de matriz por vector entonces este teorema también es valido para cualquier transformación lineal.

$dim V = R (T) + N (T) = R (A_{T}) + N (A_{T})$

Notas Álgebra Lineal