Independencia Lineal

Los vectores $(1,2)$ y $(4,8)$ tienen una relación muy cercana, la cual es que $(4,8)=4(1,2)$ es decir el segundo vector es una combinación lineal del primero, ahora supongamos que tenemos un conjuntos de vectores $v_1,v_2,\cdots ,v_n$ donde al menos uno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los demás, a este hecho se la llama dependencia lineal.

Es decir dentro de este conjunto de vectores existe un vector $v_i$ con $1\le i\le n$ tal que para unos escalares ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ se cumple que: $$v_i={\alpha }_1{v}_1+\cdots +{\alpha }_{i-1}{v}_{i-1}+{\alpha }_{i+1}{v}_{i+1}+\cdots +{\alpha }_n{v}_n$$ Ahora tomemos una combinación lineal de los mismos vectores $v_1,v_2,\cdots ,v_n$ (incluyendo el $v_i$) donde los escalares son los mismos utilizamos en la combinación lineal del vector $v_i$, solo que el escalar que acompañara a $v_i$ sera $-1$:

$$\begin{array}{rl}& ={\alpha }_1{v}_1+\cdots +{\alpha }_{i-1}{v}_{i-1}+(-{\mathbf{v}}_{\mathbf{i}})+{\alpha }_{i+1}{v}_{i+1}+\cdots +{\alpha }_n{v}_n\\ & =\underset{=v_i}{\underbrace{{\alpha }_1{v}_1+\cdots +{\alpha }_{i-1}{v}_{i-1}+{\alpha }_{i+1}{v}_{i+1}+\cdots +{\alpha }_n{v}_n}}+(-{\mathbf{v}}_{\mathbf{i}})\\ & =v_i-v_i\\ & =0\end{array}$$

Esto demuestra otra propiedad que tienen los conjuntos de vectores linealmente dependiente, existe una combinación lineal de ellos donde son iguales a 0, este hecho sera la definición utilizada de dependencia lineal.

Dentro del plano cartesiano los vectores linealmente dependientes son todos aquellos que se encuentran sobre la misma recta o son paralelos.

Pero cabe la posibilidad que para un conjunto de vectores no existan tales escalares, entonces solo puede existir una forma que una combinación lineal de estos vectores sea $0$, esta es donde todos los escalares son igual a $0$. El conjunto de vectores que cumplen esto se les llamara linealmente independientes.

A partir de ahora se utilizaran las siglas LD para decir linealmente dependientes y LI para linealmente independientes.

Determinar si es LI o LD

Hay muchas formas para determinar si un conjuntos de vectores es LI o LD, pero se mostraran las que se puedan usar por el momento a partir de la información mostrada anteriormente, también la de demostración se deja como ejercicio para el lector.

• Si en el conjunto $\left\{v_1,v_2,\cdots ,v_n\right\}$ hay uno que es múltiplo del otro entonces es LD.

• Si $v_i\in \left\{v_1,v_2,\cdots ,v_n\right\}$ y $v_i=0$ entonces el conjunto es LD.

  Justificación: ya que el vector nulo puede ser escrito como combinación lineal de cualquier conjunto de vectores donde donde los escalares son 0.

• Si el conjunto $\left\{v_1,v_2,\cdots ,v_n\right\}$ es LI entonces cualquier subconjunto de el también lo será.

  Justificación: Por definición un conjunto de vectores es LI cuando una combinación lineal de el es 0 si cada escalar es 0, por lo tanto podemos quitar cualquier vector y la combinación lineal seguirá siendo 0.