Razonando de manera similar a la demostración del Teorema 1 de bases se llegaría a una contradicción sobre la independencia lineal de los vectores $v_1,v_2,\cdots ,v_n$, por lo tanto se concluye que $n\le m$.

Digamos que $\dim V=n$ y supongamos que $\dim W\ge \dim V$, entonces podemos encontrar vectores $w_1,w_2,\dots ,w_n,w_{n+1}\in W$ LI, esto es una contradicción por el teorema anterior, ya que implica que $W$ puede ser generado por estos $n+1$ vectores, por lo tanto implica que $V$ puede ser generado al menos por $n+1$ vectores LI, pero es una contradicción ya que solo pueden haber $n$ vectores LI en $V$, por lo tanto $\dim W\le \dim V$.

Primero vamos a demostrar 1. Supongamos que tenemos el conjunto $v_1,v_2,\cdots ,v_n$ de $n$ vectores LI que no son base de $V$, esto quiere decir que existe un $v_{n+1}\in V-⟨v_1,v_2,\cdots ,v_n⟩$ tal que $v_1,v_2,\cdots ,v_n,v_{n+1}$ es LI, por lo tanto $⟨v_1,v_2,\cdots ,v_n,v_{n+1}⟩=W$, como cada uno de estos vectores esta en $V$ entonces $W\le V$, y por el Teorema 2 $\dim W\le n$, pero $\dim W=n+1$, se llego a una contradicción con el teorema anterior, por lo tanto se concluye que $v_1,v_2,\cdots ,v_n$ es una base de $V$

Ahora se demostrara 2. Sea $W_1=⟨v_1,v_2,\cdots ,v_n⟩$, como $n<k$ entonces $W⪇V$ por lo tanto existe un $v_{n+1}\in V-W_1$ tal que $v_1,v_2,\cdots ,v_n,v_{n+1}$ son LI, ahora sea $W_2=⟨v_1,v_2,\cdots ,v_n,v_{n+1}⟩$, si $W_2=V$ entonces la prueba termina, sino continuamos con el mismo argumento, es decir, existe $v_{n+2}\in V-W_2$ tal que $W_3=⟨v_1,v_2,\cdots ,v_n,v_{n+1},v_{n+2}⟩$, si $W_3=V$ terminamos, sino continuamos de forma iterativa hasta conseguir un espacio vectorial $W_k=⟨v_1,v_2,\cdots ,v_n,v_{n+1},\cdots ,v_k⟩=V$.