Transformaciones Lineales

En las notas sobre espacios vectoriales vimos los conceptos de Kernel e Imagen, y para poder explicarlos tuvimos que introducir una función $T$ tal que $T : R^{n} \to R^{m}$ , esto limitados a utilizar solo matrices de $m$ filas y $n$ columnas, pero podemos extender este concepto para cualquier espacio vectorial, así pues una transformación lineal se tratara simplemente de una función que va de un espacio vectorial a otro.

Transformaciones lineales

Sean $V$ y $W$ espacios vectoriales. Una transformación lineal $T$ es una función que asigna a un vector $v \in V$ un vector $w \in w$ , ademas de satisfacer las siguientes propiedades:

Si $v_{1}, v_{2} \in V$ entonces $T (v_{1} + v_{2}) = T (v_{1}) + T (v_{2})$ .
Si $α \in R$ y $v \in V$ entonces $T (αv) = α T (v)$ .

Utilizando la notación que se emplea en funciones se puede describir a $T$ de la siguiente manera: $T : V v \in V \to W \mapsto T (v) \in W$ Siendo $V$ y $W$ espacios vectoriales.

Sea $T : R \to R$ con $T (x) = x^{2}$ no es transformación lineal, tome un $x, y \in R$ , entonces se supone que $T (x + y) = T (x) + T (y) = x^{2} + y^{2}$ , pero esto es falso ya que $T (x + y) = (x + y)^{2} \neq = x^{2} + y^{2}$ .

Sea $T : R \to R^{2}$ siendo $T (x) = (x, αx)$ , donde $α \in R$ , $T$ es transformación lineal.

En efecto tome un $x, y \in R$ , entonces $T (x + y) = (x + y, α (x + y)) = (x, αx) + (y, α y) = T (x) + T (y)$ . Ahora tome un $c \in R$ entonces $T (c x) = (c x, α c x) = c (x, αx) = c T (x)$ .

Notas Álgebra Lineal

Transformaciones Lineales

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