Kernel e Imagen

Estos conceptos van a ser fundamentales cuando lleguemos a ver transformaciones lineales, pero por el momento solo las mostraremos utilizando matrices y vectores, en el siguiente capitulo veremos estas mismas ideas generalizadas para cualquier espacio vectorial.

Utilizaremos la siguiente notación:

$M_{m \times n} (R) Matrices reales de m \times n M_{n} (R) Matriz cuadrada de n \times n$

Transformaciones lineales de matrices

Sea $A \in M_{m \times n} (R)$ (una matriz de $m$ filas y $n$ columnas), a partir de ella podemos crear una función llamada transformación lineal que va de $R^{n}$ a $R^{m}$ , la cual es definida como:

$T : R^{n} \to R^{m} v \in R^{n} \mapsto A \times v$

Sea $A$ la matriz definida como: $A = [12 2 - 1 30]$ Una transformación lineal de esta matriz sera la siguiente: $T : R^{3} \to R^{2} x y z \mapsto A x y z = [x + 2 y + 3 z 2 x - y]$

Kernel y nulidad

Kernel

Sea $A \in M_{m \times n} (R)$ y $T : R^{n} \to R^{m}$ una transformación lineal asociada a $A$ . El kernel de una transformación lineal (denotado por $K (T)$ ) es un espacio vectorial definido como: $K (T) = {x \in R^{n} ∣ A x = 0_{m}}$

Es decir todos los vectores de $R^{n}$ tal que al multiplicarse por $A$ dan como resultado el vector nulo de $R^{m}$ .

Teorema 1

Sea $A \in M_{m \times n} (R)$ , sea $T : R^{n} \to R^{m}$ una transformación lineal asociada a esta matriz, el $K (A)$ es sub espacio vectorial de $R^{n}$ .

Sea $v, w \in K (T)$ entonces $A v = A w = 0_{m}$ se sigue que $0_{m} = A v + A w = A (v + w)$ se concluye que $v + w \in K (A)$ , ahora con un escalar $α \in R$ se tiene que $A (αv) = α (A v) = α 0_{n} = 0_{n}$ por lo tanto $αv \in K (A)$ .

Como $K (T)$ es cerrado bajo la suma y la multiplicación por escalares, entonces se concluye que $K (T) \leq R^{n}$ .

Ya que sabemos que $K (T)$ es un espacio vectorial, podemos preguntarnos por su dimensión, esta sera llamada nulidad y es muy importante.

Nulidad

Sea $T$ una transformación lineal de una matriz $A$ , definimos la nulidad de $T$ como la dimensión de su kernel: $N (T) = dim K (T)$

Sea $A$ una matriz definida como:

$A = [- 1 2 3 - 6 2 - 4]$

Para hallar el kernel se debe hallar la solución al siguiente sistema: $A \times x y z = 000$ De esto se tendrá el siguiente sistema homogéneo: $- x + 3 y + 2 z 2 x - 6 y - 4 z = 0 = 0$ Dese cuenta que la segunda ecuación es $- 2$ veces la primer por lo tanto se puede omitir y despejar de la primera $x$ de lo que queda $x = 3 y + 2 z$ , a partir de esto obtenemos el siguiente vector: $3 y + 2 z y z = 3 y y 0 + 2 z 0 z = y 310 + z 201$ A partir de esto se tiene que estos dos vectores son la base de $K (T)$ . $K (T) = ⟨ 310, 201 ⟩$ y ademas su nulidad es: $N (T) = dim K (T) = 2$ Si tomamos cualquier combinación lineal de estos dos vectores y lo multiplicamos por nuestra matriz $A$ obtendremos como resultado $0$ .

Imagen y rango

Imagen

Sea $A \in M_{m \times n} (R)$ y $T : R^{n} \to R^{m}$ . Definimos la imagen de $T$ como todos los vectores que viven sobre el rango de la transformación lineal, es decir: $Im (T) = {y \in R^{m} ∣ A x = y \exists x \in R^{n}}$

Teorema 2

Sea $T$ una transformación lineal asociada a $A \in M_{m \times n} (R)$ . $Im (T)$ es sub espacio vectorial de $R^{m}$

Sea $x, y \in Im (T)$ entonces existen un $v, w \in R^{n}$ tal que $x = A v$ y $y = A w$ entonces $x + y = A v + A w = A (v + w)$ como $v + w \in R^{n}$ entonces $A (v + w) \in Im (T)$ , Sea $α \in R$ entonces $αx = α (A v) = A (αv)$ como $αv \in R^{n}$ entonces $A (αv) \in Im (T)$ .

Se demostro que $Im (T)$ es cerrada bajo la suma y el producto por escalares, por lo tanto $Im (T) \leq R^{m}$ .

Rango

El rango de una transformación $T$ no es más que la dimensión de su imagen: $R (T) = dim Im (T)$

Algunos teoremas

Teorema de la dimension (TD)

Sea $A$ una matriz de $m \times n$ y $T : R^{n} \to R^{m}$ una transformación de ella, entonces $n = R (T) + N (T)$ , es decir el rango más la nulidad es igual al número de columnas de la matriz.

Este teorema es uno de los más importantes en el álgebra lineal. Su demostración es bastante rigurosa y larga, si no esta interesado en ella puede omitirla.

Sea $v_{1}, \dots, v_{N (T)}$ una base para $K (T)$ , como $K (T) \leq R^{n}$ , entonces podemos completar estos vectores tal que $v_{1}, \dots, v_{N (T)}, v_{N (T) + 1}, \dots, v_{n}$ es una base de $R^{n}$ .

Dado cualquier $v \in R^{n}$ existen un conjunto de escalares $α_{1}, \dots, α_{n}$ tal que es combinación lineal de los vectores anteriores: $v = i = 1 \sum n α_{i} v_{i}$ Luego como $A \in M_{m \times n} (R)$ entonces podemos multiplicarla por $v$ , de lo que nos queda: $A v = i = 1 \sum n α_{i} A v_{i}$ Pero como los primeros $N (T)$ vectores pertenecen al kernel su producto por $A$ es igual al vector nulo por lo tanto podemos simplificar y hacer: $A v = i = N (T) + 1 \sum n α_{i} A v_{i}$ Como los vectores $v_{N (T) + 1}, \dots, v_{n}$ son LI entonces $A v = ⟨ v_{N (T) + 1}, \dots, v_{n} ⟩$ , de esto se tiene que $Im (T) \leq ⟨ v_{N (T) + 1}, \dots, v_{n} ⟩ \leq Im (T)$ , se concluye que $Im (T) = ⟨ v_{N (T) + 1}, \dots, v_{n} ⟩$ .

De lo anterior se tiene lo siguiente: $R (T) n = dim Im (T) = dim {v_{N (T) + 1}, \dots, v_{n}} = n - N (T) = R (T) + N (T)$

Teorema 3

Si $A \in M_{m \times n} (R)$ y $T : R^{n} \to R^{m}$ entonces $A$ es uno a uno si y solo si $K (T) = {0_{n}}$ lo que equivale a decir $N (T) = 0$ .

Recordemos que una función es uno a uno cuando para todo $x, y$ del dominio, $x \neq = y$ entonces $f (x) \neq = f (y)$ .

Primero se va a demostrar que si la transformación es 1-1 entonces $N (T) = 0$ .

Si tomamos a $A v = 0_{m}$ entonces $A v = A 0_{n}$ y como la función es 1-1 no puede existir otro valor de $v$ que cumpla esto por lo tanto $v = 0_{n}$ y como este es el único valor que al multiplicarlo por $A$ da $0_{m}$ entonces $K (T) = {0_{n}} ⟹ N (T) = 0$ .

Ahora supongamos que $N (T) = 0$ , y se va a demostrar que la transformación es 1-1.

Supongamos que $A v = A w$ por lo tanto $A v - A w = 0_{m} = A (v - w)$ como $v - w \in K (T)$ y $K (T) = {0_{n}}$ entonces $v - w = 0_{n} ⟹ v = w$ por lo tanto la aplicación es 1-1.

Corolario del TD

Sea $A \in M_{m \times n} (R)$ y $T : R^{n} \to R^{m}$

Si $n < m$ , $T$ no puede ser sobreyectiva.
Si $n > m$ , $T$ no puede ser inyectiva.
si $n = m$ , entonces $T$ es sobreyectiva si y solo si $T$ es 1-1.

Se demostraran cada uno de los corolarios.

Si $n < m$ entonces por el teorema de la dimensión $R (T) = n - N (T) \leq n$ por lo tanto $R (T) < m$ , se concluye que $T$ no puede ser sobreyectiva.
Si $n > m$ , por el teorema de la dimensión $N (T) = n - R (T) > m - R (T) \geq 0$ , se tiene que $N (T) > 0$ por lo tanto $T$ no puede ser inyectiva.
Si $n = m$ , por el teorema de la dimensión $R (T) = n ⟺ N (T) = 0$ , luego por los ítems anteriores queda que $T$ es 1-1.

Notas Álgebra Lineal