Matriz Asociada a una Transformación Lineal

En esta sección se vera que cada transformación lineal $T : A \to B$ tiene asociada una matriz, tal que si se toma el vector de coordenadas de $v \in A$ y se multiplica por esta matriz, entonces el resultado de la multiplicación sera el vector de coordenada de $T (v) \in B$ .

Matriz en transformaciones reales

Primero se estudiara el caso real y luego se generalizara para cualquier matriz.

Teorema 1

Sea $T$ una transformación lineal tal que $T : R^{n} \to R^{m}$ , entonces se puede encontrar una única matriz $A \in M_{m \times n} (R)$ tal que $T (v) = A v$ , donde $v \in R^{n}$ .

Sea $v_{i}$ un vector canónico de $R^{n}$ , con $1 \leq i \leq n$ , donde $i$ representa la posición del 1 en el vector, es decir:

$v_{i} = (0, \dots, i-esima posici \overset{o}{ˊ} n 1, \dots, 0)$

Por este teorema sabemos que $T$ esta determinado según se asigne los vectores de la base de $R^{n}$ vectores de $R^{m}$ . Sea $w_{1} = T (v_{1}), w_{2} = T (v_{2}), \dots, w_{n} = T (v_{n})$ , donde cada $w_{i} \in R^{m}$ y

$w_{i} = α_{1 i} α_{2 i} ⋮ α_{mi}$

con $α_{ni} \in R$ , donde $1 \leq n \leq m$ .

Sea $A$ una matriz tal que sus columnas es cada uno de los vectores $w_{i}$ :

$A = [w_{1} w_{2} \dots w_{n}] = α_{11} ⋮ α_{m 1} \dots \dots α_{1 n} ⋮ α_{mn}$

Es claro que $A \in M_{m \times n} (R)$ . Sea $v_{i}$ un vector canónico de la base de $R^{n}$ entonces si se multiplica este vector por la matriz se obtendrá como resultado el vector $w_{i}$

$α_{11} ⋮ α_{m 1} \dots \dots α_{1 n} ⋮ α_{mn} 0 ⋮ 1 ⋮ 0 = α_{1 i} α_{2 i} ⋮ α_{mi} = w_{i}$

Aquí el 1 esta en la i-ésima fila de $v_{i}$ .

Se puede escoger cualquier base de $R^{n}$ y esto se seguirá cumpliendo, sea ${v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ una base no canónica de $R^{n}$ , suponga que se tiene una transformación lineal tal que $T (v_{i}) = w_{i}$ , donde $i = 1, \dots, n$ , al ser una base se puede encontrar las combinaciones lineales que nos den como resultado los vectores de las base canónica, es decir:

$α_{ij} \in R α_{11} v_{1} + \dots + α_{n 1} v_{n} = v_{1}^{'} = (1, 0, \dots, 0) α_{12} v_{1} + \dots + α_{n 2} v_{n} = v_{2}^{'} = (0, 1, \dots, 0) ⋮ α_{1 n} v_{1} + \dots + α_{nn} v_{n} = v_{n}^{'} = (0, 0, \dots, 1)$

Luego $T (v_{i}^{'}) = w_{i}^{'}$ , luego construimos $A$ con columnas $w_{i}^{'}$

sea $T : R^{2} \to R^{3}$ tal que: $T (2, 1) = (1, 1, 0) T (1, 0) = (0, 2, 1)$ Observe que $(0, 1) = (2, 1) - 2 (1, 0)$ por lo tanto $T (0, 1) = (1, - 3, - 2)$ , entonces $A$ será de la forma: $A = 1 - 3 - 2 021$ Ahora demostraremos que cualquier vector $(a, b)$ multiplicado por esta matriz será de la forma $α T (2, 1) + βT (1, 0)$ $1 - 3 - 2 021 [a b] = a - 3 a + 2 b - 2 a + b = a 110 - 2 a 021 + b 021 = a 110 + (b - 2 a) 021 = a T (2, 1) + (b - 2 a) T (1, 0) ■$

Matriz asociadas a cualquier transformación lineal

Teorema 2

Sea $V, W$ espacios vectoriales con dimensión $n$ y $m$ respectivamente, sea $T \in L (V, W)$ , sea $B_{1} = {v_{1}, \dots v_{n}}$ una base de $V$ y sea $B_{2} = {w_{1}, \dots, w_{m}}$ una base para $W$ , entonces existe una única matriz $A_{T}$ de $m \times n$ tal que: $(T (v))_{B 2} = A_{T} (v)_{B_{1}}$

Recordemos que la notación $(v)_{B}$ se refiere al vector de coordenadas de $v$ respecto a la base $B$ , en caso de no acordarse revise Vectores coordenadas.

Tomemos $T (v_{i}) = y_{i}$ donde $v_{i} \in B_{1}$ ahora, $y_{i}$ es una combinación lineal de los vectores de la base $B_{2}$ , es decir:

$y_{i} = a_{1 i} w_{1} + \dots + a_{mi} w_{i}$

por lo tanto el vector de coordenadas de $v_{i}$ serán los escalares de la combinación lineal anterior.

$(y_{i})_{B 2} = a_{1 i} ⋮ a_{mi}$

Con esto se definira $A_{T}$ como la matriz de $m \times n$ tal que sus columnas con los vectores de coordenadas de cada $y_{i}$ :

$A_{T} = [(y_{1})_{B 2} (y_{2})_{B 2} \dots (y_{n})_{B 2}] = a_{11} ⋮ a_{m 1} \dots \dots a_{1 n} ⋮ a_{mn}$

Sea $v \in V$ un vector arbitrario tal que $(v)_{B 1} = (c_{1}, \dots, c_{n})$ . Si se multiplica por $A_{T}$ se obtiene:

$A_{t} (v)_{B 1} = a_{11} ⋮ a_{m 1} \dots \dots a_{1 n} ⋮ a_{mn} c_{1} ⋮ c_{n} = a_{11} c_{1} ⋮ a_{m 1} c_{1} + + \dots \dots + + a_{1 n} c_{n} ⋮ a_{mn} c_{n} = c_{1} a_{11} ⋮ a_{m 1} + \dots + c_{n} a_{1 n} ⋮ a_{mn} = c_{1} (y_{1})_{B 2} + c_{2} (y_{2})_{B 2} + \dots + c_{n} (y_{n})_{B 2}$

Se sabe que $T (v) = T (c_{1} v_{1} + \dots + c_{n} v_{n}) = c_{1} T (v_{1}) + \dots + c_{n} T (v_{n}) = c_{1} y_{1} + \dots + c_{n} y_{n}$ de esta manera se tiene que $T (v)_{B 2} = (c_{1} y_{1} + \dots + c_{n} y_{n})_{B 2} = c_{1} (y_{1})_{B 2} + \dots + c_{n} (y_{n})_{B 2}$

Tomando el ejemplo anterior podemos tomar la base $B_{1} = {(2, 1), (1, 0)}$ y $B_{2} = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}$ , luego tenemos que:

$T (2, 1) = (1, 1, 0) T (1, 0) = (0, 2, 1)$

Primero se hallaran los vectores coordenadas para las imágenes de los vectores de la base $B_{1}$ , pero no hay mucha complicación ya que la base del espacio vectorial de la imagen es la canónica por lo tanto nuestra $A$ seria de la forma:

$A = 110021$

Tomemos el vector de coordenadas de los vectores de la base $B_{1}$ :

$(2, 1)_{B 1} = (1, 0) (1, 0)_{B 1} = (0, 1)$

Ahora observe que si multiplicamos cualquier vector de coordenadas $v$ de $B_{1}$ nos dará como resultado $T (v)$ (ya que la base $B_{2}$ es la canónica).

$110021 (10) = 110 = T (2, 1)$

Teorema de la dimensión

Ya en esta sección se trato la demostración del teorema de la dimensión para espacios vectoriales en $R$ , ahora que ya demostramos que toda transformación lineal puede escribirse de la forma de matriz por vector entonces este teorema también es valido para cualquier transformación lineal.

$dim V = R (T) + N (T) = R (A_{T}) + N (A_{T})$