Isomorfismos

Sea $T \in L (V, W)$ si $T$ es sobreyectiva (todo elemento de $W$ le corresponde un elemento en $V$ ) entonces $Im T = W$ , ahora por el teorema de la dimensión no puede ocurrir que $R (T) = dim W > dim V$ , por lo tanto se concluye que $dim W \leq dim V$ , Ahora si $T$ es adema inyectiva entonces por los teoremas anteriores sabemos que $N (T) = 0$ de esto y por el teorema de la dimensión concluimos que $dim W = dim V$ .

Esto mismo es lo que motiva introducir los isomorfismo, que propiedades tienen las transformaciones lineales donde sus espacios vectoriales tienen la misma dimensión.

Isomorfismos

Sean $T : V \to W$ , se dice que $T$ es un isomorfismo cuando:

$T$ es inyectiva.
$T$ es sobreyectiva.

Cuando esto ocurre se dirá que $V$ y $W$ son isomorfos y se denotara por $V ≅ W$ .

Teorema 1

Sea $V, W$ E.V de dimensión finita tal que $dim V = dim W$ . Entonces $V ≅ W$ .

Sea ${v_{1}, \dots, v_{n}}$ base de $V$ y ${w_{1}, \dots, w_{n}}$ base de $W$ entonces por el teorema 2 existe una transformación lineal $T : V \to W$ tal que:

$T (v_{i}) = w_{i} \forall_{1 \leq i \leq n}$

Es decir a cada vector de la base de $V$ lo mandamos a su respectivo vector a la base de $W$ , además $T$ es única, ahora suponga que $v \in V$ y $T (v) = 0$ , entonces si $v = α_{1} v_{1} + \dots + α_{n} v_{n}$ se tiene que $T (v) = α_{1} T (v_{1}) + \dots + α_{n} T (v_{n}) = α_{1} w_{1} + \dots + α_{n} w_{n} = 0$ como cada vector $w_{i}$ es L.I entonces cada $α_{i} = 0$ , por lo tanto $T$ es 1-1 y como cumple esto entonces también es sobre, luego concluimos que $V ≅ W$ .

Todo EV tiene asociado un EV real

Este teorema nos asegura que dos E.V de igual dimensión son isomorfos, ya conocemos a todos los espacios vectoriales de la forma $R^{n}$ , entonces si $dim V = n$ por el teorema anterior tenemos que $V ≅ R^{n} dim V = n$ Con esto demostramos que todo espacios vectorial es isomorfo a un espacio vectorial de los reales, por este motivo el estudio de los espacios vectoriales y sus propiedades se reduce a estudiar los $R^{n}$ .

Corolario 1

Si $dim V = n$ entonces: $V ≅ R^{n}$

Algunos teoremas

Estos teoremas ayudaran a determinar isomorfismo, la demostración es sencilla y muchas de ellas ya fueron dadas en las secciones pasadas.

Sea $T \in L (V, W)$ y $dim V = n$ y $dim W = m$ entonces:

T es inyectiva si y sólo si T es sobre.
T es inyectiva si y sólo si $K (T) = {0}$ o $N (T) = 0$ .
Si T es sobre entonces $R (T) = m$ o $Im T = W$ .
$n = N (T) + K (T)$ .
Si $n > m$ entonces $T$ no puede ser Inyectiva.
Si $n < m$ entonces $T$ no puede ser sobre.
Si $n = m$ entonces $T$ es isomorfismo.

Vectores coordenadas

Sea $B = {v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ una base de $V$ , definimos el vector de coordenadas de un vector $v$ , donde $v = α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2} + \dots + α_{n} v_{n}$ como:

$(v)_{B} = α_{1} α_{2} ⋮ α_{n}$

la notación $(v)_{B}$ se utiliza para representar el vector de coordenadas de $v$ con respecto a la base $B$

Los vectores de coordenadas inducen una transformación lineal que además es isomorfismo, la cual esta definida de la siguiente manera:

$T : V v v_{i} \to R^{n} \mapsto (v)_{B} \mapsto e_{i} dim V = n v \in V v_{i} \in B$

Donde $e_{i}$ representa el i-esimo vector canónico de $R^{n}$ .

Hallar el vector de coordenadas de $P (x) = x^{2} + x + 4$ para las bases:

$B_{1} B_{2} = {1, x, x^{2}, x^{3}} = {1, 1 + x, 1 + x + x^{2}, 1 + x + x^{2} + x^{3}}$

Para $B_{1}$ es trivial ya que se tratan de los vectores canónicos de $P [3]$ , por lo tanto $P (x)_{B_{1}} = (4, 1, 1, 0)$ .

Ahora para $B_{2}$ note que tenemos lo siguiente: $v_{1} v_{2} v_{3} v_{4} = 1 = x = (1 + x) - 1 = x^{2} = (1 + x + x^{2}) - (1 + x) = x^{3} = (1 + x + x^{2} + x^{3}) - (1 + x + x^{2})$

Por lo tanto:

$P (x) ∴ P (x)_{B_{2}} = v_{3} + v_{2} + 4 v_{1} = [(1 + x + x^{2}) - (1 + x)] + [(1 + x) - 1] + 4 = (1 + x + x^{2}) + 3 = (3, 0, 1, 0)$

Notas Álgebra Lineal